Question

【题目】如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．等边三角形ADB以AB为轴运动．

（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中点E，连接DE，CE，

因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．

当平面ADB⊥平面ABC时，

因为平面ADB∩平面ABC=AB，

所以DE⊥平面ABC，

可知DE⊥CE

由已知可得 ，在Rt△DEC中， ．

（2）解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．

证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，

所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．

（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．

又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD．

综上所述，总有AB⊥CD．

【解析】（1）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．（2）总有AB⊥CD，当D∈面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的性质的相关知识，掌握两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．