Question

【题目】设a，b均大于0，且 + =1．求证：对于每个n∈N* ， 都有（a+b）n﹣（an+bn）≥22n﹣2n+1 ．

Answer 1

【答案】证明：由a，b均大于0，且 + =1，
可得 知 ，
由二项式定理，得
= ．
则原不等式成立．
【解析】运用二元均值不等式可得 ≥2，再由二项式定理，化简整理可得（a+b）n﹣（an+bn）
= ，再由均值不等式即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等，以及对平均值不等式的理解，了解平均不等式：,（当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均）
．