【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.
(1)求证:BD⊥A1C;
(2)若E在棱BC1上,且满足DE∥面ABC,求三棱锥E﹣ACC1的体积.
【答案】
(1)证明:侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,∵BA=BC1,∴BD⊥AC1,
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,且BD平面ABC1,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,
∴BD⊥平面AA1C1C,则BD⊥A1C
(2)解:∵DE∥面ABC,DE面ABC1,面ABC1∩面ABC=AB,∴DE∥AB,
∵点D为AC1的中点,∴点E为BC1的中点,
∵AA1=AC=2,∠AA1C1=60°,∴AC1=2,∵AB=BC1=2,
∴△ABC1为正三角形,则 ,
∴点E到面ACC1的距离等于 ,
∴ .
【解析】(1)由已知,可得BD⊥AC1 , 结合平面ABC1⊥平面AA1C1C,利用面面垂直的性质可得BD⊥A1C;(2)由题意可得△ABC1为正三角形,求得 ,再由E为BC1的中点求得E到平面ACC1的距离,求出△ACC1的面积,代入棱锥体积公式得答案.
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【题目】某市对创“市级优质学校”的甲、乙两所学校复查验收,对办学的社会满意度一项评价随机访问了位市民,根据这
位市民对这两所学校的评分(评分越高表明市民的评价越好),绘制茎叶图如下:
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两所学校评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两所学校的评分不低于分的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两所学校的评价.
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【题目】小明同学在寒假社会实践活动中,对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温
(
)与该奶茶店的
品牌饮料销量
(杯),得到如表数据:
日期 | 1月11号 | 1月12号 | 1月13号 | 1月14号 | 1月15号 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先从这五组数据中抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程式
;
(3)根据(2)所得的线性回归方程,若天气预报1月16号的白天平均气温为,请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(﹣4,0),D(0,4)设△AOB的外接圆圆心为E.
(1)若⊙E与直线CD相切,求实数a的值;
(2)设点P在圆E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,试问这样的⊙E是否存在,若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2, ,CF=6,∠CFE=45°.
(Ⅰ)求证:BF∥平面ADE;
(Ⅱ)在线段CF上求一点G,使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为 .
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【题目】如图,已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,点M在侧棱上.
(1)求证:BC⊥平面BDP;
(2)若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为 ,点M为侧棱PC的中点,求异面直线BM与PA所成角的余弦值.
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【题目】如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)= .
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