Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且KF=

1

2

BD．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面EFC．

Answer 1

（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=

1

2

BD，连接EO，（1分）
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，（2分）
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE；（4分）
（Ⅱ）连接FO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFOD是平行四边形．（6分）
∴ED∥FO，
∵ED⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD（8分）
又∵BD?平面ABCD
∴BD⊥FO，
∵BD⊥AC，AC∩FO=O，AC、FO?平面AFC
∴BD⊥平面AFC（10分）
∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC，
∵EF?平面AFC，∴平面AFC⊥平面EFC．（12分）