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如图,在三棱锥A-BOC中,AO⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=2
2
,动点D在线段AB上.
(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小;
(Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时,求三棱锥C-OBD的体积.

(Ⅰ)证明:∵AO⊥底面BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB.
∵∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,∴OC=OB=2.(2分)
BC=2
2
,∴OC⊥OB,∴OC⊥平面AOB.(4分)
∵OC?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(5分)
(Ⅱ):由(Ⅰ)知OC⊥平面AOB,
∴OC⊥OB,OC⊥OD,
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角.(7分)
∵D为AB的中点,∴OD=2,BD=2,
又OB=2,∴∠DOB=60°,
∴二面角D-CO-B的大小为60°.(9分)
(Ⅲ):∵OC⊥平面AOB,CD交平面AOB于D,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成角.(10分)
tan∠CDO=
OC
OD
=
2
OD
,据正切函数的单调性知,当OD最小时,∠CDO最大,
∴取OD⊥AB,OD=
3
为最小值,此时,BD=1.(12分)
∴VC-OBD=
1
3
×
1
2
×
3
×1×2=
3
3

即CD与平面AOB所成角最大时,三棱锥C-OBD的体积为
3
3
.(14分)
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1
2
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