Question

2．已知f（2）=3，对于?m，n∈N^*满足f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，则f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出f（1），然后求出f（1+n）与f（n）的关系，利用累加法求解即可．

解答 解：f（2）=3，对于?m，n∈N^*满足f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，
令m=n=1，可得3=f（1）+f（1）+1，解得f（1）=1．
令m=1，f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，化为：f（n+1）=f（n）+1+n，
可得f（2）=f（1）+1+1，
f（3）=f（2）+1+2，
f（4）=f（3）+1+3，
…
f（n）=f（n-1）+1+n-1，
把以上各式相加可得：f（n）=f（1）+1（n-1）+[1+2+3+…+（n-1）]
=1+n-1+$\frac{（n-1+1）（n-1）}{2}$
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

点评 本题考查数列与函数相结合，累加法的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．