Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2﹣an（n∈N*）．数列{bn}满足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），且b1=1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和为Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2﹣an（n∈N*）．

得到：Sn+1=2﹣an+1，

则：an+1=an﹣an+1，

整理得：

所以：数列{an}是以1为首项， 为公比的等比数列

则： ．

数列{bn}满足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），

则： ，

所以：数列{ }是常数列．

则：{bn}的通项公式为：bn=2n﹣1

（2）解：由（1）得：

cn=anbn= ，

则： +…+ ①

所以： +…+ ②

则：①﹣②得： ）﹣ ，

整理得：Tn=

【解析】（1）根据an=Sn+1Sn可得出=，从而确定数列是一个等比数列；构造数列可求出bn；（2）利用错位相减法求和法即可.
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．