Question

【题目】轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．
（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？
（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AB两船在Q处相遇，

在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°，

由余弦定理可得Vt= = ，

∴当t= 时，Vt取得最小值10 ，

此时V= =30 ．

即轮船A以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小

（2）解：在△POQ中，OQ=30t，

由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ，

即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°

∴600t=400

解得：t= ，∴PQ=OQ=20，

∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°．

故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】（1）设AB两船在Q处相遇，根据余弦定理即可得出答案，（2）利用余弦定理计算出航行时间t，得出PQ，OQ距离，从而得出∠POQ的度数，得出航行方案.