Question

19．已知实数x，y，a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2．
（1）若a=3，则x=log₃2；
（2）若a²+b=4，则$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值为2．

Answer 1

分析 （1）直接化指数式为对数式得答案；
（2）化指数式为对数式，代入$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$后利用对数的运算性质结合基本不等式求得答案．

解答 解：（1）由a^x=2，得x=log_a2，
∵a=3，∴x=log₃2；
（2）∵a^x=b^y=2，∴x=log_a2，y=log_b2，
又a²+b=4，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{a}2}+\frac{1}{lo{g}_{b}2}=lo{g}_{2}{a}^{2}+lo{g}_{2}b$=$lo{g}_{2}（{a}^{2}b）$
≤$lo{g}_{2}（\frac{{a}^{2}+b}{2}）^{2}=lo{g}_{2}{2}^{2}=2$．
当且仅当a²=b=2时上式“=”成立．
故答案为：log₃2，2．

点评 本题考查了对数函数的性质，由a^x=b^y=2，得到x=log_a2，y=log_b2是解题的关键，本题是一道基础题．