练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如下图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2,|AC|=,一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.

    (1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程;

    (2)设点K是曲线E上的一动点，求线段KA中点的轨迹方程;

    (3)若F(1,)是曲线E上的一点，设M、N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，请说明理由.

    解：(1)如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立直角坐标系.

        设P(x,y),

    ∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|

    =+=4为定值，

    ∴动点P的轨迹为椭圆，且a=2,c=1,b=.

    ∴椭圆E的方程为+=1.

    (2)设椭圆E上的动点K(x1,y1),线段KA的中点为Q(x,y)、A(-1,0),

        则x=,y=，即x1=2x+1,y1=2y.

        因此=1,即(x+)2+=1.

    (3)∵M、N是椭圆上不同的两点，且直线FM、FN的倾斜角互补，则直线FM、FN的斜率存在且不为零.

        设直线FM的方程为y=k(x-1)+,

        由消去y,整理得

    (4k2+3)x2-4k(2k-3)x+4k2-12k-3=0.                                          (*)

        设M(xM,yM)、N(xN,yN),又F(1,)是直线FM与椭圆的交点,∴方程(*)的两个根为1、xM.

        由根与系数的关系得xM=.                               ①

    ∵直线FM、FN的倾斜角互补,∴直线FN的斜率为-k,以-k代替①中的k得

    xN=.                                                              ②

        又∵yM=k(xM-1)+,

    yN=-k(xN-1)+,

    ∴yM-yN=k(xM+xN-2)=k(-2)=.而xM-xN=.

    ∴yM-yN=(xM-xN).

    ∴直线MN的斜率是定值，其定值为.


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：2007年普通高等学校招生全国统一考试、数学(北京卷) 题型：044

    如下图，在Rt△AOB中，，斜边AB＝4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C的直二面角．D是AB的中点．

    ()求证：平面COD⊥平面AOB；

    ()求异面直线AO与CD所成角的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：044

    (2007北京，16)如下图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角．动点D在斜边AB上．

    (1)求证：平面COD⊥平面AOB；

    (2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；

    (3)求CD与平面AOB所成角的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在如下图所示的Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C在∠ACB内任作一条射线交线段AB于M，则使AM＞AC的概率是（    ）

    A.                   B.                  C.                D.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，tanC=,AB=a,在△ABC内作一系列的正方形，求所有这些正方形的面积和S.

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案