Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由点在直线上，得，即.，从而可求得抛物线方程；（2）当时，曲线.设， ，线段的中点，由点和关于直线对称，可得直线的斜率为，设其方程为，由，可得，根据韦达定理可得的坐标.

试题解析：（1）抛物线的焦点为

由点在直线上，

得，即.

所以抛物线的方程为.

（2）当时，曲线.

设， ，线段的中点

因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，

于是直线的斜率为-1，设其方程为，

由，消去得，

由和是抛物线的两相异点，得，

从而，

因此，所以，

又在直线上，所以

所以点，此时满足式，

故线段的中点的坐标为.