Question

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

 

 

Answer 1

【解析】

试题分析：求该高科技工业园区的最大面积，由梯形的面积公式须知PQ,PR,QE的长度，注意到点P在曲线AF上的动点，因此此题可建立直角坐标系求解，故以A为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，从而得，而曲线AF是以A为定点，AD为对称轴的抛物线段，故利用AF求出抛物线的方程，利用EC求出直线EC的方程，设出P点的坐标为，从而得出PQ,PR,PE的长度，由梯形的面积公式，得出工业园区的面积 ，由于是三次函数，需用求导来求最大值，从而解出高科技工业园区的最大面积是.

试题解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则…（2分）

由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为，由得，，

∴AF所在抛物线的方程为， （5分）

又，∴EC所在直线的方程为，

设，则， （9分）

∴工业园区的面积， （12分）

∴令得或（舍去负值） ， （13分）

当变化时，和的变化情况可知，当时，取得最大值．

答：该高科技工业园区的最大面积．

考点：平面解析几何与导数的应用.