Question

13．设正数x、y满足x＞y，x+2y=3，则$\frac{1}{x-y}$+$\frac{9}{x+5y}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先结合题意整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得代数式的最大值，注意均值不等式中等号成立的条件．

解答 解：正数x，y满足：x＞y，x+2y=3，则2x+4y=6，据此有：
$\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}$
=$\frac{1}{6}[（x-y）+（x+5y）]（\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}）$
=$\frac{1}{6}（10+\frac{x+5y}{x-y}+9×\frac{x-y}{x+5y}）$
≥$\frac{1}{6}$×（10+2$\sqrt{\frac{x+5y}{x-y}×9×\frac{x-y}{x+5y}}$）
=$\frac{8}{3}$．
当且仅当 $x=2，y=\frac{1}{2}$时等号成立．
即$\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}$ 的最小值为 $\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$

点评 本题考查了最值问题，均值不等式的应用，整体思想等，属于常考题目．