Question

已知函数f（x）=e^2x-ae^x+x，x∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，ln2）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1），再利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，ln2）上是单调递增函数?f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2）恒成立?a≤2ex+

1

ex

对任意x∈（0，ln2）恒成立，下面再利用函数的单调性求出不等式右边的最大值即可求实数a的取值范围．

解答：解：f'（x）=2e^2x-ae^x+1
（Ⅰ）当a=3时，f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1）
令f'（x）＜0，得

1

2

＜ex＜1，-ln2＜x＜0
令f'（x）＞0，得ex＜

1

2

或e^x＞1，x＜-ln2或x＞0
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上递增，在（ln2，0）上递减．
从而，f（x）_极大值=f（-ln2）=-

5

4

-ln2，f（x）_极小值=f（0）=-2．
（Ⅱ）令f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2），
即a≤2ex+

1

ex

对任意x∈（0，ln2）恒成立，
令t=e^x，t∈（1，2），
又令h(t)=2t+

1

t

，易知h（t）在（1，2）上为增函数
∴h（t）＞3，故a≤3

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．