Question

（2011•济南二模）在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有an+1=

an

2an+1

．
（1）证明数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_nan+1}的前n项和为T_n，求使得Tn＞

1000

2011

的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）

1

a1

=1，an+1=

an

2an+1

，所以

1

an+1

-

1

an

=2，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）因为anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，由Tn＞

1000

2011

，得最小正整数n为91．

解答：解：（1）

1

a1

=1，
因为an+1=

an

2an+1

，所以

1

an+1

-

1

an

=2，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，（4分）
∴

1

an

=2n-1，
从而a_n=

1

2n-1

．（6分）
（2）因为anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（8分）
所以T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

n

2n+1

（10分）
由Tn＞

1000

2011

，得n＞

1000

11

，最小正整数n为91．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，解题时要注意构造成法和裂项求和法的合理运用．