Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=2n+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a_2n+1a_2n-a_2na_2n-1+a_2n-1a_2n-2-a_2n-2a_2n-3+…+a₃a₂-a₂a₁，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1+a_n=2n+3．变形为a_n+1-（n+2）=-[a_n-（n+1）]，又a₁=2，即可得出a_n．
（2）由于a_2n+1a_2n-a_2na_2n-1=（2n+2）（2n+1）-（2n+1）（2n-1+1）=2（2n+1）=4n+2．利用等差数列的前n项和公式可得T_n．

解答 解：（1）∵a_n+1+a_n=2n+3．
∴a_n+1-（n+2）=-[a_n-（n+1）]，
又a₁=2，
∴a_n=n+1．
（2）∵a_2n+1a_2n-a_2na_2n-1=（2n+2）（2n+1）-（2n+1）（2n-1+1）=2（2n+1）=4n+2．
∴T_n=（4n+2）+[4（n-1）+2]+…+（4×1+2）
=$\frac{n（4n+2+6）}{2}$
=2n²+4n．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的前n项和公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．