Question

20．平行向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，cosθ），且$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则cos2θ=$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程求出tanθ的值，再利用倍角关系与同角的三角函数关系，即可求出cos2θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，cosθ），且$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
∴3cosθ-4sinθ=0，
∴tanθ=$\frac{3}{4}$；
∴cos2θ=cos²θ-sin²θ
=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$
=$\frac{1{-tan}^{2}θ}{1{+tan}^{2}θ}$
=$\frac{1{-（\frac{3}{4}）}^{2}}{1{+（\frac{3}{4}）}^{2}}$
=$\frac{7}{25}$．
故答案为：$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了平面向量共线定理的坐标表示以及倍角关系与同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．