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    设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+
    1
    an
    (n∈N*)    ．
    （I）证明：an＞
    		2n+1
    对n∈N*恒成立；
    （II）令bn=
    an
    		n
    (n∈N*)    ，判断bn与bn+1的大小，并说明理由．
    （1）证法一：当n=1时，a1=2＞
    		2×1+1
    ，不等式成立，
    假设n=k时，ak＞
    		2k+1
    成立（2分），
    当n=k+1时，
    a2k+1
    =
    a2k
    +
    1
    a2k
    +2＞2k+3+
    1
    a2k
    ＞2(k+1)+1    ．（5分）
    ∴n=k+1时，ak+1＞
    		2(k+1)+1
    时成立
    综上由数学归纳法可知，an＞
    		2n+1
    对一切正整数成立（6分）
    证法二：由递推公式得
    a2n
    =
    a2n-1
    +2+
    1
    a2n-1
    ，
    a2n-1
    =
    a2n-2
    +2+
    1
    a2m-2
    a22
    =
    a21
    +2+
    1
    a21
    （2分）
    上述各式相加并化简得
    a2n
    =
    a21
    +2(n-1)+
    1
    a21
    +…+
    1
    a2n-1
    ＞22+2(n-1)    =2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
    又n=1时，an＞
    		2n+1
    显然成立，故an＞
    		2n+1
    (n∈N*)    （6分）
    （2）解法一：
    bn+1
    bn
    =
    an+1
    		n
    an
    		n+1
    =(1+
    1
    a2n
    )
    		n
    		n+1
    ＜(1+
    1
    2n+1
    )
    		n
    		n+1
    （8分）
    =
    2(n+1)
    		n
    (2n+1)
    		n+1
    =
    2
    		n(n+1)
    2n+1
    =
    		(n+
    1
    2
    )    2    -
    1
    4
    n+
    1
    2
    ＜1    （10分）
    又显然bn＞0（n∈N*），故bn+1＜bn成立（12分）
    解法二：
    b2n+1
    -
    b2n
    =
    a2n+1
    n+1
    -
    a2n
    n
    =
    1
    n+1
    (
    a2n
    +
    1
    a2m
    +2)-
    a2n
    n
    （8分）
    =
    1
    n+1
    (2+
    1
    a2m
    -
    a2n
    n
    )＜
    1
    n+1
    (2+
    1
    2n+1
    -
    2n+1
    n
    )    （10分）
    =
    1
    n+1
    (
    1
    2n+1
    -
    1
    n
    )＜0
    故bn+12＜bn2，因此bn+1＜bn（12分）
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
    （1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
    （2）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
    （3）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +…
    a
    2
    n
    ＞n+1-
    2
    1-3c
    ，n∈N*    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    1
    4x+m
    (m＞0)    ，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
    1
    2
    ．
    （1）求m的值；
    （2）设数列an满足an=f(
    0
    n
    )+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n
    n
    )    ，求an的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足：a1=
    5
    6
    ，且an=
    1
    3
    an-1+
    1
    3
    （n∈N*，n≥2）
    （1）求证：数列{an-
    1
    2
    }为等比数列，并求数列{an}的通项an；
    （2）求{an}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设n∈N*，不等式组
    x＞0
    y＞0
    y≤-nx+2n
    所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足a1=x1，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )，(n≥2)    ，求证：n≥2时，
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，比较(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )    与4的大小．

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