Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}有b₁=2，b_n=2b_n-1（n≥2）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的通项公式及前n项和Tn．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，a₁=S₁=2，适合上式，
所以a_n=2n，（n∈N^*），
由b_n=2b_n-1（n≥2）及b₁=2知，数列{b_n}各项均不为0，且数列{b_n}为以2为公比的等比数列，
则b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2n，b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
所以c_n=n•2ⁿ⁺¹，
则T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹①，
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²②，
①-②得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=-n•2ⁿ⁺²，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
分析：（1）按照a_n与S_n的关系式：即可求得a_n，注意验证n=1的情况；先判断{b_n}为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求得b_n；
（2）由（1）易求c_n，利用错位相减法即可求得{c_n}的前n项和Tn．
点评：本题考查等差等比数列的通项公式及数列求和，考查错位相减法对数列求和，注意掌握该类数列的特征．