Question

设函数f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？
（3）设函数g（x）=e^x-2x²+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（e⁷＞10³）

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x³-2x²+x，得f′（x）=3x²-4x+1，令f′（x）=3x²-4x+1=0，得x₁=，x₂=1，列表讨论能求出f（x）的极小值．
（2）由f（x）=x³-2x²+x，知F（x）=x³-2axlnx，由x和a的取值范围进行分类讨论，能求出函数零点的个数．
（3）由g（x）=e^x-2x²+4x+t，3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立实数m有且只有一个，得3-x³+2x²-x≤x+m≤e^x-2x²+4x+t在[0，+∞）上恒成立实数m有且只有一个，由此能求出t．
解答：解：（1）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f′（x）=3x²-4x+1=0，得x₁=，x₂=1，
列表讨论

x	（-∞，）		（）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由上表知：f（x）的增区间是 （-∞，），（1，+∞），减区间是（），
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx=x³-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x³-2axlnx=0，得x²=2alnx，
∴当a＜e时，函数零点的个数为0；
当a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=e^x-2x²+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x³+2x²-x≤x+m≤e^x-2x²+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h₁（x）=x+m-（3-x³+2x²-x）=x³-2x²+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h₁′（x）=3x²-4x+2=3（x-）²+，
∴h₁（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h₁（x）在[0，+∞）上的最小值h₁（x）_min=h₁（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h₂（x）=e^x-2x²+4x+t-x-m=e^x-2x²+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h₂（x）=e^x-2x²+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h₂（0）=1+t≥3，
∴t≥2．
点评：本题考查函数极小值的求法，函数零点个数的讨论，等价转化思想的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．