Question

【题目】在无穷数列中， ，对于任意，都有， ．设，记使得成立的n的最大值为．

（Ⅰ）设数列{an}为1，3，5，7，…，写出b1，b2，b3的值；

（Ⅱ）若{an}为等比数列，且a2=2，求b1+b2+b3+…+b50的值；

（Ⅲ）若{bn}为等差数列，求出所有可能的数列{an}．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)b1=1， b2=1， b3=2；(Ⅱ)243；(Ⅲ) ．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意结合数列的定义可得b1=1， b2=1， b3=2．

（Ⅱ）由题意可得，则b1=1，b2=b3=2，b4=b5= b6= b7=3，b8=b9b15=4，b16=b17b31=5，b32=b33b50= 6．故b1+ b2+b3b50=243．

（Ⅲ）由题意可知．使得成立的n的最大值为，使得成立的n的最大值为，则．结合题中的条件分析可得，故．

试题解析：

（Ⅰ）b1=1， b2=1， b3=2．

（Ⅱ）因为为等比数列， a1=1，a2=2，

所以，

因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，

所以b1=1，b2=b3=2，b4=b5= b6= b7=3，b8=b9b15=4，b16=b17b31=5，b32=b33b50= 6．故b1+ b2+b3b50=243．所以b1+ b2+b3+…b50=243．

（Ⅲ）由题意，得，

结合条件，得．

又因为使得成立的n的最大值为，使得成立的n的最大值为，所以， ．设，则．

假设，即，则当时， ；当时， ．

所以， ．

因为为等差数列，所以公差，所以，其中．

这与（）矛盾，所以．

又因为，所以，

由为等差数列，得，其中．

因为使得，由，

得．

(1)本题解题的关键是抓住新定义中使得成立的n的最大值为，可将问题迎刃而解．

(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．