【题目】如图,正方体的棱长为
分别是棱
,
的中点,过点
的平面分别与棱
,
交于点
,设
.给出以下四个命题:
①平面与平面
所成角的最大值为45°;
②四边形的面积的最小值为
;
③四棱锥的体积为
;
④点到平面
的距离的最大值为
.
其中命题正确的序号为( )
A.②③④B.②③C.①②④D.③④
【答案】A
【解析】
由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式,计算可得所求最大值,可判断①;由四边形为菱形,计算面积,考虑
的最小值,可判断②;由棱锥的等体积法,计算可判断③;由等体积法和函数的性质可判断④.
对于①,由面面平行的性质定理可得,
,
可得四边形为平行四边形,
又直角梯形和直角梯形
全等,可得
,
即有四边形为菱形,且
,
平面在底面上的射影为四边形
,
设平面与平面
所成角为
,
由面积射影公式可得,
由,可得
,
可得平面与平面
所成角的最大值不为
,故①错误;
对于②,由,可得菱形
的面积的最小值为
,故②正确;
对于③,因为四棱锥的体积为
,故③正确;
对于④,,
,
设到平面
的距离为
,可得
,
所以(其中
,
当即
时,
取得最大值
,故④正确.
故选:C.
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【题目】如图,
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,
为线段
的中点,
是
的中点,
与
分别是以
、
为底边的等边三角形,现将
与
分别沿
与
向上折起(如图
),则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为( )
图 图
(1)直线直线
;(2)直线
直线
;
(3)平面平面
;(4)直线
直线
.
A.个B.
个C.
个D.
个
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【题目】如图1,直角梯形中,
,
,E、F分别是
和
上的点,且
,
,
,沿
将四边形
折起,如图2,使
与
所成的角为60°.
(1)求证:平面
;
(2)M为上的点,
,若二面角
的余弦值为
,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1:x2+y2=1,以平面直角坐标系xoy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线:ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(Ⅰ)将曲线C1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2,试写出直线
的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
(Ⅱ)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).
(Ⅰ)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若x∈R,t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求实数m的取值范围.
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【题目】根据《环境空气质量指数技术规定(试行)》规定:空气质量指数在区间
、
、
、
、
、
时,其对应的空气质量状况分别为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染.如图为某市2019年10月1日至10月7日的空气质量指数
直方图,在这7天内,下列结论正确的是( )
A.前4天的方差小于后3天
的方差
B.这7天内空气质量状况为严重污染的天数为3
C.这7天的平均空气质量状况为良
D.空气质量状况为优或良的概率为
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过
作直线
与椭圆
交于
,
两点,
的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)问:的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
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