【题目】如图1,直角梯形中,
,
,E、F分别是
和
上的点,且
,
,
,沿
将四边形
折起,如图2,使
与
所成的角为60°.
(1)求证:平面
;
(2)M为上的点,
,若二面角
的余弦值为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)由平面图形,可证得线面平行,从而得面面平行,然后可得证线面平行;
(2)先证得平面平面
,然后作
于点O,则
平面
,以O为原点,平行于
的直线为x轴,
所在直线为y轴,
所在直线为z轴建立空间直角坐标系
,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角的余弦的绝对值等于二面角余弦值,可求得
.
(1)证明:在图1中,,
,又
,所以
是矩形,
所以在图2中,,又
平面
,所以
平面
,
因为,又
平面
,所以
平面
,
又因为,所以平面
平面
,
而平面
,所以
平面
.
(2)解:因为,所以
是
与
所成的角,所以
,
∵,
,∴
平面
,故平面
平面
,作
于点O,则
平面
,
,
,
,
以O为原点,平行于的直线为x轴,
所在直线为y轴,
所在直线为z轴建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则,取
,得
.
平面的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,
所以,
平方整理得,因为
,所以
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】动圆过定点
,且在
轴上截得的弦
的长为4.
(1)若动圆圆心的轨迹为曲线
,求曲线
的方程;
(2)在曲线的对称轴上是否存在点
,使过点
的直线
与曲线
的交点
满足
为定值?若存在,求出点
的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于的不等式
有且仅有两个正整数解(其中e=2.71828… 为自然对数的底数),则实数
的取值范围是( )
A. (,
] B. (
,
] C. [
,
) D. [
,
)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥中,平面
底面
,
是等边三角形,底面
是菱形,且
,
为棱
的中点,
为菱形
的中心,下列结论正确的有( )
A.直线与平面
平行B.直线
与直线
垂直
C.线段与线段
长度相等D.
与
所成角的余弦值为
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示(单位:万元,下列说法中错误的是(注:月结余=月收入一月支出)( )
A.上半年的平均月收入为45万元B.月收入的方差大于月支出的方差
C.月收入的中位数为70D.月结余的众数为30
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的右焦点为
,下顶点为P,过点
的动直线l交椭圆C于A,B两点.
(1)当直线l平行于x轴时,P,F,A三点共线,且,求椭圆C的方程;
(2)当椭圆C的离心率为何值时,对任意的动直线l,总有?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体的棱长为
分别是棱
,
的中点,过点
的平面分别与棱
,
交于点
,设
.给出以下四个命题:
①平面与平面
所成角的最大值为45°;
②四边形的面积的最小值为
;
③四棱锥的体积为
;
④点到平面
的距离的最大值为
.
其中命题正确的序号为( )
A.②③④B.②③C.①②④D.③④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】最近,纪录片《美国工厂》引起中美观众热议,大家都认识到,大力发展制造业,是国家强盛的基础,而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍,中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名,35周岁以下工人200名,为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
生产能手 | 非生产能手 | 合计 | |
35岁以下 | |||
35岁以上 | |||
合计 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com