【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的右焦点为
,下顶点为P,过点
的动直线l交椭圆C于A,B两点.
(1)当直线l平行于x轴时,P,F,A三点共线,且,求椭圆C的方程;
(2)当椭圆C的离心率为何值时,对任意的动直线l,总有?
【答案】(1)(2)椭圆C的离心率为
【解析】
(1)当直线与x轴平行,由
,得到
点坐标,根据
,得到
的值,将
点代入椭圆方程,得到
和
,从而得到所求椭圆方程;
(2)①当直线l平行于x轴时,由,得到
,从而得到
,根据
得到
,从而得到离心率
,②当直线l不平行于x轴时,当
,椭圆方程转化为
,将直线l:
与椭圆联立,得到
,
,再对
进行化简,可得
,从而得到所求椭圆离心率为
.
解:(1)当直线与x轴平行时,即
,
如图,作轴于点D,
则根据,可得
,
且,
解得,
又因为在椭圆上,所以
,
解得
所以,
所以椭圆C的方程为;
(2)①当直线l平行于x轴时,
由,得
∴,又
,
∴,∴
,
∵,
.
②当直线l不平行于x轴时,下面证明当,总有
,
事实上,由①知椭圆可化为,
∴,
直线l的方程为,
,
,
由,得
,
∴,
∵,
∴
.
∴,
综上,当椭圆C的离心率为时,对任意的动直线l,总有
.
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【题目】点是抛物线
内一点,
是抛物线
的焦点,
是抛物线
上任意一点,且已知
的最小值为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)抛物线上一点
处的切线与斜率为常数
的动直线
相交于
,且直线
与抛物线
相交于
、
两点.问是否有常数
使
?
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【题目】随着网购人数的日益增多,网上的支付方式也呈现一种多样化的状态,越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐,更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步,许多人喜欢用信用卡购物,考虑到这一点,一种“网上的信用卡”横空出世——蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式,简单便捷,同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系,某网站对其注册用户开展抽样调查,在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人,得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.
(1)由大数据可知,在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系,利用统计图表中的数据,以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄,求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程(回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字);
(2)该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人,试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数;
(3)已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同,现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人,再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度,求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.
参考答案:,
.
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【题目】如图1,直角梯形中,
,
,E、F分别是
和
上的点,且
,
,
,沿
将四边形
折起,如图2,使
与
所成的角为60°.
(1)求证:平面
;
(2)M为上的点,
,若二面角
的余弦值为
,求
的值.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知定点,直线
与曲线C分别交于P、Q两点,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1:x2+y2=1,以平面直角坐标系xoy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线:ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(Ⅰ)将曲线C1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2,试写出直线
的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
(Ⅱ)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).
(Ⅰ)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若x∈R,t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求实数m的取值范围.
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