Question

【题目】点是抛物线内一点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，且已知的最小值为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于，且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在常数，使得使

【解析】

（1）由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，且三点共线时的最小值为2可得的值.进而求出抛物线的方程.

（2）由（1）可得的坐标，求导可得在处的切线方程，设动准线的方程与在处的切线方程联立求出交点的坐标，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出和的表达式，进而求出，假设存在满足条件，因为为常数，所以可得的值.

（1）抛物线的准线方程为：，因为点在抛物线内部，过作垂直于准线交于，抛物线于，

由抛物线的性质可得，当且仅当，三点共线时最小，

即，即，解得：，

所以抛物线的方程为：；

（2）有题意在抛物线上，所以，所以，

即，

因为，所以，

所以在处的斜率为：，

所以在处的切线方程为：，即，

设直线的方程：，且，

联立与切线方程：，解得：，即，

设，假设存在值满足条件，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，即，

，

，

，

同理可得：，

所以，

所以，所以，

所以存在常数，使得使.