Question

【题目】如图，已知、，、分别为的外心，重心，.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）设点，利用重心的坐标公式得出点的坐标为，可得出点，由可得出点的轨迹的方程；

（2）由题意得出直线的斜率存在，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，由，可得出代入韦达定理求出的值，即可得出直线的方程，此时，直线过点或，从而说明直线不存在.

（1）设点，则点，由于，则点.

由，可得出，化简得.

因此，轨迹的方程为；

（2）当与轴重合时不符合条件.

假设存在直线，设点、.

将直线的方程与曲线的方程联立，

消去得，由韦达定理得，.

，，，，得，

即，，

另一方面，得，解得.

则直线过点或，因此，直线不存在.