【题目】如图是第七届国际数学教育大会的会徽,它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个直角是等腰三角形,且
,则,
,现将
沿
翻折成
,则当四面体
体积最大时,它的表面有________个直角三角形;当
时,四面体
外接球的体积为________.
【答案】4
【解析】
当四面体体积最大时,平面
平面
,由此推出
,根据勾股定理可以推出
,从而可得有4个直角三角形,根据
,可得点
在平面
内的射影是
的中点
,且四面体
的外接球的球心
在直线
上,根据勾股定理可求得外接球的半径,代入体积公式可求得结果.
当四面体体积最大时,平面
平面
,因为
,所以根据平面与平面垂直的性质定理可得
平面
,所以
,所以△
为直角三角形,所以
,又
,
,
所以,所以
,所以三角形
为直角三角形,
所以它的表面有4个直角三角形,
因为,所以点
在平面
内的射影是直角三角形
的外心,
也就是的中点
,且四面体
的外接球的球心
在直线
上,如图:
容易求得,设
,
则在直角三角形中,由勾股定理可得
,
所以,解得
,
所以四面体外接球的体积为
.
故答案为:(1)4 (2)
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】如图,已知、
,
、
分别为
的外心,重心,
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)是否存在过的直线
交曲线
于
,
两点且满足
,若存在求出
的方程,若不存在请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右焦点
的坐标为
,离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点、
为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足
,
为
的中点,线段
的垂直平分线分别交
轴、
轴于
、
两点.
(ⅰ)求证:为
的中点;
(ⅱ)若(
为三角形的面积),求直线
的方程.
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【题目】在统计学中,同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率,环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表,根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图,下列说法正确的是( )
A.2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B.2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C.2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D.2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
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【题目】已知关于的不等式
有且仅有两个正整数解(其中e=2.71828… 为自然对数的底数),则实数
的取值范围是( )
A. (,
] B. (
,
] C. [
,
) D. [
,
)
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【题目】某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示(单位:万元,下列说法中错误的是(注:月结余=月收入一月支出)( )
A.上半年的平均月收入为45万元B.月收入的方差大于月支出的方差
C.月收入的中位数为70D.月结余的众数为30
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【题目】某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式:
方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试
方式二:周六一天培训4小时,周日测试
公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组记为甲组、乙组
先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如表:
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲组 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙组 | 8 | 16 | 20 | 16 |
用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间
精确到
,并据此判断哪种培训方式效率更高?
在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率.
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