Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为B₁D₁的中点，则AC与DD₁所成的角为

 

，AC与D₁C₁所成的角为

 

，AC与B₁D₁所成的角为

 

，AC与A₁B所成的角为

 

，A₁B与B₁D₁所成的角为

 

，AC与BO所成的角为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：利用正方体的性质、异面直线所成角的概念、余弦定理求解．

解答： 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为B₁D₁的中点，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
故AC与DD₁所成的角为90°；
∵D₁C₁∥DC，
∴AC与D₁C₁所成的角为∠ACD，
∵∠ACD=45°，∴AC与D₁C₁所成的角为45°；
∵B₁D₁∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥B₁D₁，
∴AC与B₁D₁所成角为90°；
∵AC∥A₁C₁，∴AC与A₁B所成的角为∠BA₁C₁，
∵△BA₁C₁是等边三角形，∴AC与A₁B所成的角为60°；
∵BD∥B₁D₁，∴A₁B与B₁D₁所成的角为∠A₁BD，
∵△A₁BD为等边三角形，
∴∠A₁BD=60°，
∴A₁B与B₁D₁所成角为60°；
∵AC∥A₁O，∴∠A₁OB是AC与BO所成的角，
设正方体的棱长为1，则A1O=

2

2

，BO=

1+ 1 4

=

5

2

，A1B=

2

，
∴cos∠A₁OB=

A1O2+BO2-AB2

2A1O•BO

=

1 2 + 5 4 -2

2× 2 2 × 5 2

=-

10

20

．
∴AC与BO所成的角为π-arccos

10

20

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．