Question

16．已知a∈R，解关于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0．

Answer 1

分析 根据题意，讨论a的范围解对应不等式解集的情况，从而写出不等式的解集．

解答 解：当a≠1时，关于x的方程（a-1）x²+（2a+3）x+a+2=0，
△=（2a+3）²-4（a-1）（a+2）=8a+17，
当a＞-$\frac{17}{8}$时，关于x的方程有两个不相等的实根x₁=$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$，x₂=$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$
当a=-$\frac{17}{8}$时，方程有两个相等的实根x=-$\frac{1}{5}$；
当a＜-$\frac{17}{8}$时，方程没有实根；
∴关于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解如下：
当a＜-$\frac{17}{8}$时，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集为R；
当a=-$\frac{17}{8}$时，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集为{x|x≠-$\frac{1}{5}$}；
当1＞a＞-$\frac{17}{8}$时，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集为
{x|x＞$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$或x＜$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$}；
当a=1时，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集为{x|x＜-$\frac{3}{5}$}；
当a＞1时，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集为
{x|$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$＜x＜$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．