Question

7．“平面内与两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）距离之和为4的点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1”．类比或模仿推导上述椭圆方程的办法，试写出“空间内与两定点F₁'（-1，0，0），F₂′（1，0，0）距离之和为4的点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 类比可得动点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．设所求动点P的坐标为（x，y，z），运用两点的距离公式，化简整理，由移项两边平方，即可得到所求轨迹方程．

解答 解：类比可得动点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．
设所求动点P的坐标为（x，y，z），
空间内与两定点F₁'（-1，0，0），F₂′（1，0，0）距离之和为4，
可得$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4，
即为$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4-$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，
两边平方可得（x+1）²+y²+z²=16-8$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$+（x-1）²+y²+z²，
化简可得2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4-x，
再两边平方可得4[（x-1）²+y²+z²]=16-8x+x²，
可得3x²+4y²+4z²=12，
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用类比法和直接法，设点、运用两点的距离公式和变形，考查运算能力，属于中档题．