Question

16．已知半径为2$\sqrt{2}$的动圆C₂经过圆C₁：（x-1）²+（y-1）²=8的圆心，且与直线l：x+y-8=0相交，则直线l被圆C₂截得的弦长最大值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 直线l被圆C₂截得的弦长L=2$\sqrt{8-{d}^{2}}$，（d为圆C₂的圆心（a，b）到直线l：x+y-8=0的距离）．
求出d_min=$\frac{8-2}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，即可得直线l被圆C₂截得的弦长最大值为2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$

解答 解：设动圆C₂的圆心为（a，b）
∵半径为2$\sqrt{2}$的动圆C₂经过圆C₁：（x-1）²+（y-1）²=8的圆心，
∴圆心的轨迹方程为：（a-1）²+（b-1）²=8
又直线l被圆C₂截得的弦长L=2$\sqrt{8-{d}^{2}}$，（d为圆C₂的圆心（a，b）到直线l：x+y-8=0的距离）．
∵点（a，b）的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2$\sqrt{2}$的圆．
∴d的最小值为圆心（1，1）到直线l：x+y-8=0的距离减去半径2$\sqrt{2}$，
即d_min=$\frac{8-2}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
则直线l被圆C₂截得的弦长最大值为2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$
故答案为：2$\sqrt{6}$

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的弦长计算公式，属于中档题．