Question

6．已知点 O（0，0），A（2，1），B（-2，4），向量$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$．
（I ）若点M在第二象限，求实数λ的取值范围
（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$得（x，y）=（2，1）+λ（-2，4），即M（2-2λ，1+4λ）
又$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ＜0}\\{1+4λ＞0}\end{array}\right.$，⇒λ＞1
（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（-2，4）
可得OB∥AM且OB=AM，又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4+4=0$，OB⊥OA，OA∴≠OB，四边形OAMB是矩形．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得$\overrightarrow{OA}=（2，1）$，$\overrightarrow{OB}=（-2，4）$
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$得（x，y）=（2，1）+λ（-2，4）
⇒x=2-2λ，y=1+4λ
即M（2-2λ，1+4λ）
又∵点M在第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ＜0}\\{1+4λ＞0}\end{array}\right.$，⇒λ＞1；
（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（-2，4）
∴$\overrightarrow{AM}=（-2，4）$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AM}$
OB∥AM且OB=AM
∴四边形OAMB是平行四边形．
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4+4=0$，∴OB⊥OA
∵$OA=\sqrt{5}$，OB=2$\sqrt{5}$，
四边形OAMB是矩形．

点评 本题考查了向量的基本定理及其意义，考查了向量的运算，属于中档题，