Question

22. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x＝－1相切，点C在l上.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由；

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求点C的纵坐标的取值范围.

Answer 1

22.

（Ⅰ）解法一：依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y²＝4x.

解法二：设M（x,y）,依题意有|MP|＝|MN|,

所以|x+1|＝,化简得：y²＝4x.

 

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y＝－（x－1）,由

消y得3x²－10x+3＝0,解得x₁＝,x₂＝3.

所以A点坐标为（,）,B点坐标为（3,－2）,

|AB|＝x₁+x₂+2＝.

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|＝|AB|，且|AC|＝|AB|，即

由①－②得4²+（y+2）²＝（）²+（y－）²,

解得y＝－.

 

但y＝－不符合①，

所以由①②组成的方程组无解.

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

 

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y＝2,

即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.

 

又|AC|²＝（－1－）²+（y－＝

 

|BC|²＝（3+1）²+（y+2）²＝28+4y+y²,

 

|AB|²＝（）²＝.

 

当∠CAB为钝角时：cosA＝<0

 

即|BC|²＞|AC|²+|AB|²,即28+4y+y²＞y+y²+,即y＞时，∠CAB为钝角.

 

当|AC|²＞|BC|²+|AB|²,即y+y²＞28+4y+y²+,即y＜－时，∠CBA为钝角.

 

又|AB|²＞|AC|²+|BC|²,即+y²+28+4y+y²,

 

即y²+y+＜0,（y+）²＜0.

 

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y＜－或y＞（y≠2）.

 

解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－）²+（y+）²＝（）².圆心（）到

 

直线l：x＝－1的距离为,所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.

 

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线方程为y－.

令x＝－1得y＝.

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2＝（x－3）.

令x＝－1得y＝－.

又由

所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y＜－或y＞（y≠2）.