如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角；
（2）在线段AA₁中上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出| $数学公式$ |；若不存在，说明理由．

解：（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴B（0，0，0），C（0， $\text{[math]}$ ，0），A（ $\text{[math]}$ ，0，0），A₁（ $\text{[math]}$ ，0，3a），C₁（0， $\text{[math]}$ ，3a），B₁（0，0，3a）．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，3a），E（0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，3a）， $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．故BE与A₁C所成的角为 $\text{[math]}$ ．

（2）假设存在点F，要使CF⊥平面B₁DF，只要 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．
不妨设AF=b，则F（ $\text{[math]}$ ，0，b）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，b）， $\text{[math]}$ ，0，b-3a）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 恒成立．
$\text{[math]}$ 或b=2a，
故当 $\text{[math]}$ 或2a时，
CF⊥平面B₁DF．
分析：（1）先以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再求得相关点的坐标，再求的相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．（2）假设存在点F，要使CF⊥平面B₁DF，只要证明 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 即可，用向量法只要数量积为零即可．
点评：本题主要考查用向量法研究线线垂直和异面直线所成的角，选用向量法，避开了作辅助线，优越性很强，作为理科要注意应用．

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