Question

17．已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：B₁E∥面ACF；
（2）求四棱锥B₁-AECD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结ED交AC于O，连结OF，证明FO∥B₁E，然后证明B₁E∥面ACF．
（2）取AE的中点M，连结B₁M，说明△ABE为等边三角形，说明B₁M⊥面AECD，然后求解几何体的体积．

解答 解：（1）证明：连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD，∴FO∥B₁E，∴B₁E∥面ACF．
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（2）取AE的中点M，连结B₁M，因为$BA=AD=DC=\frac{1}{2}BC=a，△ABE$为等边三角形，则${B_1}M=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又因为面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，所以$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×a×a×sin\frac{π}{3}=\frac{a^2}{4}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．