Question

12．设数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，且a₁，a₂-1，a₃-1是等比数列{b_n}的前三项．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）求数列{a_n-b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得等差数列{a_n}的公差d和等比数列{b_n}的公比q的值，继而可求得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可求得a_n=2n-1，b_n=2^n-1，利用分组求和法可求数列{a_n-b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，
且a₁，a₂-1，a₃-1是等比数列{b_n}的前三项，
∴（1+d-1）²=1×（1+2d-1），
∴d=0（舍，否则等比数列{b_n}的第二项a₂-1=0）或d=2．
a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∴等比数列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}}$=2，又b₁=a₁=1，
∴b_n=2^n-1；
（2）∵T_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+3+5+…+2n-1）-（1+2+2²+…+2^n-1）
=n²-$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=n²+1-2ⁿ．

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，考查方程思想与分组求和法、公式法的综合应用，属于中档题．