Question

7．命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数，若p，q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p和命题q为真命题时，a的取值范围，再求出p，q全为假命题时，a的取值范围，进而可得p，q至少有一个是真命题，实数a的取值范围．

解答 解：若命题p为真命题，
即关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
则△=（a-1）²-4a²＜0，
解得：a∈（-∞，-1）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），
若命题q为真命题，
即函数y=（2a²-a）^x为增函数，
则2a²-a＞1，
解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
若p，q全为假命题，
则a∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，
故p，q至少有一个是真命题时，
a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，二次不等式的解法，指数函数的图象和性质，难度中档．