Question

1．（1）已知M=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$，A=M²，曲线C：x²+2y²=1在矩阵A^-1的作用下变换为曲线C₁，求C₁的方程；
（2）已知圆C：x²+y²=1在矩阵A=$（\begin{array}{l}{a}&{0}\\{0}&{b}\end{array}）$（a＞0，b＞0）对应的交换作用下变为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求a，b的值．
（3）已知矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$，向量$\overrightarrow{β}$=$（\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}）$，求$\overrightarrow{α}$，使得A²$\overrightarrow{α}$=$\overrightarrow{β}$；
（4）在平面直角坐标系中．已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），设k为非零实数，矩阵M=$（\begin{array}{l}{k}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$，N=$（\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}）$，点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A₁，B₁，C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出A^-1，确定坐标之间的关系，即可求C₁的方程；
（2）设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值．
（3）A²=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$，利用条件建立方程，即可得出结论；
（4）先计算MN，再求点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁的坐标，利用△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，可求k的值．

解答 解：（1）由题意，A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{1}&{5}\\{0}&{1}\end{array}]$，行列式为1，A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{-5}&{1}\end{array}]$，
设曲线C₁上的点为（x，y），曲线C：x²+2y²=1的点为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{a=x}\\{-5a+b=y}\end{array}\right.$，∴a=x，b=5x+y，
∴x²+2（5x+y）²=1；
（2）设P（x，y）为圆C上的任意一点，
在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），
则$[\begin{array}{l}{x′}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{0}\\{0}&{b}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax}\\{y′=by}\end{array}\right.$
又因为点P'（x'，y'）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，所以$\frac{{a}^{2}{x}^{2}}{9}+\frac{{b}^{2}{y}^{2}}{4}=1$．
由已知条件可知，x²+y²=1，所以 a²=9，b²=4．
因为 a＞0，b＞0，
所以 a=3，b=2；
（3）A²=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{3}&{2}\\{4}&{3}\end{array}]$，
设$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{3}&{2}\\{4}&{3}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=1}\\{4x+3y=2}\end{array}\right.$，解得：x=-1，y=2，
∴$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$；
（4）由题设得MN=$[\begin{array}{l}{0}&{k}\\{1}&{0}\end{array}]$
由$[\begin{array}{l}{0}&{k}\\{1}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}&{-2}&{-2}\\{0}&{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{0}&{k}\\{0}&{-2}&{-2}\end{array}]$，
可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）
计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是k的绝对值，则由题设可知：k的值为2或-2．

点评 本题主要考查了矩阵变换与性质，同时考查了计算能力，属于中档题．