Question

11．若[x]表示不大于的最大整数，则使得[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂n]≥2008成立的正整数n的最小值是314．

Answer 1

分析 由题目给出的定义，逐步分析得到不等式左边的规律，结合[log₂（2^m+1-1）]=m，尝试在m取具体值时由错位相减法求出不等式左边的和，需要求得的和小于2008，同时m+1时左边的和大于等于2008，然后计算满足使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2008成立的正整数n的最小值．

解答 解：[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log₂2²]=[log₂（2²+1）]=…=[log₂（2³-1）]=2，
…
[log₂2^m]=[log₂（2^m+1）]=…=[log₂（2^m+1-1）]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+log₂（2^m+1-1）]
=0+1×2+2×2²+…+m•2^m=S．
当m=7时，S=1538，当m=8时，S≥2008，
∴n＞2⁸-1=255，
当255＜n＜2⁹-1时，[log₂（2⁹-1）]=8，
由$\frac{1}{8}$（2008-1538）=58.75．
∴n＞255+58.75=313.75．
∴正整数n的最小值是314．
故答案为：314．

点评 本题考查了对数的运算性质，关键是对运算规律的探究，考查了学生的灵活处理问题的能力和进行繁杂运算的能力，是有一定难度的题目．