Question

2．设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（I）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II）若θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，且|f（cosθ）-f（sinθ）|≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导函数的概念可得f'（1）=0，代入求出a，利用导函数的正负判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）|f（cosθ）-f（sinθ）|≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可，根据（1）式得出函数的单调性，求出函数的最大值，最小值进而得出|f（cosθ）-f（sinθ）|的最大值，求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．由条件知，f′（1）=0，
∴a+3+2a=0，
∴a=-1．
∴f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少，在（-2，1）单调增加；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，
故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．（10分）
 而当$θ∈[0，\frac{π}{2}]$时，cosθ，sinθ∈[0，1]．
从而|f（cosθ）-f（sinθ）|≤e-1，
所以m≥e-1…（12分）

点评 考查了导函数的概念，利用导函数判断函数的单调性，对恒成立问题的转化．