Question

14．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+4），则实数c的值为4．

Answer 1

分析 根据题意可知b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，把不等式解的问题转化为方程根的问题，利用韦达定理求解即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=0，
∴b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∵f（x）＜c的解集为（m，m+4），
∴f（x）-c=0的根为m，m+4，
即x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的根为m，m+4，
∵（m+4-m）²=（-a）²-4（$\frac{{a}^{2}}{4}$-c），
∴4c=16，
c=4．
故答案为4．

点评 考查了二次函数的最值和不等式和方程根的关系，韦达定理的转化．