Question

3．以下列结论：
①△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；  
②若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角； 
③将函数y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度可以得到f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象； 
④函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{π}{3}$-x）在x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]； 
⑤若0＜tanAtanB＜1，则△ABC为钝角三角形．
则上述结论正确的是①④⑤．（填相应结论对应的序号）

Answer 1

分析 ①根据正弦定理进行判断，
②根据向量数量积与夹角的关系进行判断，
③根据三角函数的平移关系进行判断，
④根据三角函数的诱导公式以及倍角公式进行求解判断，
⑤根据两角和差的正切公式进行判断．

解答 解：①△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故①正确；  
②当$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$方向相反时，＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=π，满足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0，但$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角不是钝角；故②错误； 
③将函数y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度可以得到y=3sin2（x-$\frac{π}{3}$）=3sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的图象，
故③错误； 
④函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{π}{3}$-x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）sin[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{6}$）]=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
则当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值为y=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为y=sin$\frac{π}{2}$=1，
则函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]；故④正确，
⑤若0＜tanA tanB＜1，则-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＞0，
∴tanC＜0，C∈（0，π），∴$C∈（\frac{π}{2}，π）$，△ABC是钝角三角形，正确．
故答案为：①④⑤．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，正弦定理以及平面向量的数量积，综合性较强，但难度不大．