Question

15．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin²x．
（1）求函数f（x）的对称轴及单调增区间；
（2）若α为锐角，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 利用两角差的余弦展开，再由辅助角公式化积．
（1）由相位的终边落在y轴上求解对称轴方程，再由复合函数的单调性求得增区间；
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$得到sin（$α-\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{4}$，利用平方关系求得cos（$α-\frac{π}{6}$），再由配角思想求得sinα的值．

解答 解：f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin²x=$cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3}+1-cos2x$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-cos2x+1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+1=sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．
（1）由$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，得$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的对称轴为$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
单调增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]（k∈Z）；
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，得$sin（2×\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）+1=\frac{3}{4}$，即sin（$α-\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{4}$，
∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}＜α-\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}$，则cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}=\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴sinα=sin[（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$α-\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（$α-\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$（-\frac{1}{4}）×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数值的求法，训练了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．