Question

5．已知函数f（x）=|x²-2x-3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为（　　）

• A． -4
• B． 3-2$\sqrt{10}$
• C． 3-4$\sqrt{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 画出函数的图象，判断a，b的范围，利用直线与圆的位置关系，通过相切求解最小值．

解答 解：由函数f（x）的图象：
可知，a＜-1，-1＜b＜1，
且a²-2a-3=-b²+2b+3，即点P（a，b）满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-1＜b＜1}\\{{{（a-1）}^2}+{{（b-1）}^2}=8}\end{array}}\right.$，
此区域为以$A（-1，-1），B（-2\sqrt{2}+1，1）$为端点
且不含端点的圆弧，
直线u=2a+b与圆弧相切于点C，
则直线u=2a+b过点C时，
u有最小值，2$\sqrt{2}$=$\frac{|2+1-u|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$，（u＜0），
解得u=3-2$\sqrt{10}$．
最小值为：$3-2\sqrt{10}$．
故选：B．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查函数的图象，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．