Question

16．一椭圆上任一点P与椭圆上两定点A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）的连线的斜率之积是-$\frac{3}{4}$，则椭圆的离心率$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设设P（x，y），椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，运用直线的斜率公式和点差法，求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设P（x，y），椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
由则k_AP•k_BP=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$•$\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$=$\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由P，A，B在椭圆上$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减得：$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=0$，
$\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查的离心率的求法和方程的运用，考查运算能力，属于中档题．