Question

【题目】某足球俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2018年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元.计划每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍.

（1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少?

（2）从2018年起（包括2018年）该俱乐部从哪一年开始“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万元?（总投入是指各年投入之和）

Answer 1

【答案】（1）2020年，投入总和最少；（2）2022年开始，总投入之和不低于62000万.

【解析】

（1）从2018年算起，设第n年“一线队引援”投入资金为an，“青训”投入资金为bn，投入总和为cn，写出数列{cn}的通项公式，利用基本不等式即可得出结论；
（2）根据等比数列的求和公式得出前n年的总投入之和，列不等式解出n即可．

（1）从2018年算起，设第n年“一线队引援”投入资金为an，

“青训”投入资金为bn，投入总和为cn，

则{an}是以16000为首项，以为公比的等比数列，

{bn}是以1000为首项，以2为公比的等比数列，

，，

，

当且仅当，即时取等号，

所以2020年，该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少；

（2）设{cn}的前项和为Tn，

则，

令，

令，则，解得，（舍去），

即，，

所以从2018年算起的第5年即2022年开始，“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万.