【题目】给定椭圆
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
（1）若椭圆C上一动点
满足
，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点
作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，求P点的坐标；
（3）已知
，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆方程
，伴随圆方程
；（2）
；（3）存在，
．
【解析】
试题（1）这是基本题，题设实质已知
，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求
点坐标，我们可设直线
方程为
，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用
可得
的一个方程，又直线截圆所得弦长为
，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个
，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点
的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为
，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当
时，
，但由于
，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为
，由此得
，又有
，可解得
，故存在．
（1）由题意：
，则
，所以椭圆
的方程为
，
其“伴随圆”的方程为
． 4分
（2）设直线
的方程为
由
得
则有
得
， ①
由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为
，可得
，得
②
由①②得
，又
，故
，所以
点坐标为
．
（3）过
的直线的方程为：
，
即
，得
由于圆心
到直线的距离为
，
当
时，
，但
，所以，等式不能成立；
当
时，
，
由
得
所以
因为
，所以
，
得
．所以
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【题目】某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组
，
，第二组
，
，
第八组
，
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
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【题目】已知数列
的前
项和为
，且
（
）求数列的通项公式；
（
）若数列
满足
，求数列的通项公式；
（
）在（）的条件下，设
，问是否存在实数
使得数列
是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】某足球俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2018年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元.计划每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍.
（1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少?
（2）从2018年起（包括2018年）该俱乐部从哪一年开始“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万元?（总投入是指各年投入之和）
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【题目】在三棱锥
中，底面
是边长为 2 的正三角形，顶点 
在底面
上的射影为
的中心，若
为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】选修
；坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：
．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
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【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元
A.72B.80C.84D.90
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【题目】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经
榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为
，底面正方形的边长为
，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
A.
B.
C.
D.
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