Question

已知函数f（x）=x+

a2

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），知h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

，由x=1是函数h（x）的极值点，知3-a²=0，由此能求出a．
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）成立等价于f（x）_max＜g（x）_max．当x∈[1，e]时，g′(x)=1+

1

x

＞0，故函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，g（x）_max=g（e）=e+1．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），…（1分）
∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

…（2分）
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴a=

3

．                                          …（4分）
经检验当a=

3

时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴a=

3

…（5分）
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等价于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
当x∈[1，e]时，g′(x)=1+

1

x

＞0，
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，x∈[1，e]，a＞0
①当0＜a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≥0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函数，
∴f(x)max=f(e)=e+

a2

e

e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，满足题意；       …（9分）
②当1＜a＜e时，若1≤x＜a，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，
而f（1）=1+a²，f(e)=e+

a2

e

a）f（1）＜f（e）即1＜a＜

e

时，
f(x)max=f(e)=e+

a2

e

，e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即

e

≤a≤e时，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max≥g（x）_max，不合题意；               …（12分）
③当a≥e时，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≤0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max＞g（x）_max，不合题意；                    …（13分）
综上知，a的取值范围为(0，

e

)．                             …（14分）

点评：本题考查利用导数求函数最的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．