Question

6．已知关于x的不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜2}．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）=2|x-a|+|x+b|的最小值．

Answer 1

分析 （1）解不等式|2x+a|＜b便可得到$\frac{-b-a}{2}＜x＜\frac{b-a}{2}$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b-a}{2}=1}\\{\frac{b-a}{2}=2}\end{array}\right.$，这样即可解出a=-3，b=1；
（2）先得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-3x-7}&{x≤-3}\\{x+5}&{-3＜x＜-1}\\{3x+7}&{x≥-1}\end{array}\right.$，看出f（x）为分段函数，在每一段上可根据一次函数的单调性求出f（x）在每一段上的值域，最后便可得出f（x）的最小值．

解答 解：（1）由|2x+a|＜b得-b＜2x+a＜b，即$\frac{-b-a}{2}＜x＜\frac{b-a}{2}$；
由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b-a}{2}=1}\\{\frac{b-a}{2}=2}\end{array}\right.$；
解得a=-3，b=1；
（2）f（x）=2|x+3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-7}&{x≤-3}\\{x+5}&{-3＜x＜-1}\\{3x+7}&{x≥-1}\end{array}\right.$；
∴①x≤-3时，f（x）单调递减；
∴f（x）≥f（-3）=2；
②-3＜x＜-1时，f（x）单调递增；
∴f（-3）＜f（x）＜f（-1）；
即2＜f（x）＜4；
③x≥-1时，f（x）单调递增；
∴f（x）≥f（-1）=4；
∴综上得f（x）的最小值为2．

点评 考查绝对值不等式的解法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数最值的求法，以及根据一次函数的单调性求函数值域，从而得出函数最值的方法．