Question

18．椭圆3x²+4y²=12的弦AB不过原点，P（2，1），AB被直线OP平分，求△PAB面积的最大值时，直线AB的方程．

Answer 1

分析 设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A，B的中点坐标，由中点在OP上求得k值，得到AB方程，由弦长公式求得AB的长度，再由点到直线的距离公式求出P到AB的距离，求出三角形的面积，利用导数求出使三角形面积取得最值的m值，则直线方程可求．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M．
当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，舍去；
故可设直线AB的方程为y=kx+m（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，①
则△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$k•\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}+2m=\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
线段AB的中点M（$\frac{-4km}{3+4{k}^{2}}，\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．
∵M在直线OP上，
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}=\frac{1}{2}•\frac{-4km}{3+4{k}^{2}}$，得m=0（舍去）或k=-$\frac{3}{2}$．
此时方程①为3x²-3mx+m²-3=0，则
△=3（12-m²）＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}\sqrt{{m}^{2}-\frac{4{m}^{2}-12}{3}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{3}}$
设点P到直线AB的距离为d，则d=$\frac{|8-2m|}{\sqrt{13}}$．
设△ABP的面积为S，则S=|AB|•d=$\frac{\sqrt{13}}{2}•\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{3}}$•$\frac{|8-2m|}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{\frac{（12-{m}^{2}）（4-m）^{2}}{3}}$，其中m∈（-2，0）∪（0，2）．
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，m∈（-2，0）∪（0，2）．
u′（m）=-4（m-4）（m²-2m-6）=-4（m-4）（m-1-$\sqrt{7}$）（m-1+$\sqrt{7}$）．
∴当且仅当m=1-$\sqrt{7}$时，u（m）取到最大值．
故当且仅当m=1-$\sqrt{7}$，S取到最大值．
综上，所求直线l方程为3x+2y+2$\sqrt{7}$-2=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了椭圆中三角形面积最值的求法，考查利用导数求函数的最值，属压轴题．